电机的振动取决于两个方面，一是激振力；二是电机结构的固有参数。前面几期我们主要从激振力方面阐述了各种电磁激振力的特点，由于在推导那些激振力波时用到了很多数学知识，很多人反映太枯燥了，全是大段公式，完全看不懂。的确推导那些枯燥的公式很乏味，加之各种激振力波形成的原因不同，阐述起来很复杂也很凌乱，这也是为什么前面几期的推导令人崩溃之所在！如果对这些推导有兴趣可深入去看前面的推导，如果没兴趣看不懂前面的推导也没关系，为了加深对各种电磁力波的理解，本期就再用尽量简单通俗的语言对各种激振力的特点做一个简要总结。无论前面几期你能不能看懂，只要认真阅读一下本期的内容，定会对电磁力波有个宏观理解，好在现在有关电机振动方面的设计已不再主要依赖传统的解析计算，主要依靠各种专业的设计软件来计算，电磁力波的理论方面只要有个宏观的逻辑概念就可以了，当然如果能全面理解前几期理论解析的内容最好！

1  电机内的气隙磁场

电机是通过气隙中的磁场进行机电能量转换的，而气隙里的磁场是由定转子磁势作用在气隙磁导而产生的，气隙磁密b(θ,t)等于磁势f(θ,t)乘以磁导系数（单位面积上的磁导）Λ(θ,t)，即：

b(θ,t)=f(θ,t)•Λ(θ,t)                           ⑴

其中f(θ,t)、Λ(θ,t)都既是空间θ的函数又是时间t的函数。由于定转子开齿槽、绕组不可能是无穷多相在气隙中连续均布等原因，无论是磁势f(θ,t)还是磁导Λ(θ,t)，都存在着许多谐波，也就是说它们都是由许多在时间上频率不同、在空间上波长不同的一系列正弦函数之和组成的。这两个复杂的时空函数相乘，你想想会是个什么更加复杂的结果？所以前面几期讲的解析推导过程令人崩溃是正常的。为了便于大家理解，本期我们不再重复前面的具体推导过程（有兴趣的可以参见前几期），这里只给出气隙磁密的通常结果。⑴式推导出的气隙磁密波如下：

b(θ,t)=b₁(θ,t)+b₂(θ,t)+b₃(θ,t)+…=∑b_υ(θ,t)=∑B_υ•sin(υθ±2πf_υ•t)         ⑵

式中：υ为谐波磁场极对数，当υ=p时称为主波磁场；B_υ为该谐波磁场的磁密幅值；θ为沿气隙圆周的空间角度变量(机械弧度）；t为时间变量；f_υ为该谐波磁场相对于定子的变化频率，即从定子的某一固定点看到的谐波磁场的变化频率，f_υ=υ•n_υ/60，n_υ为谐波磁场相对于定子的转速(转/分)。

由⑵式可见，电机的气隙磁密是由一系列空间波长不同、转速不同、转向不同的行波组成，其中转向由⑵式中的±号决定，“+”号时为反转波，“-”号时为正转波。这些磁场谐波包括了定子各谐波磁势作用于气隙磁导波而产生的磁密，也包括了转子各磁势作用于气隙磁导而产生的磁密，它们的转速和转向可能都不尽相同。这样讲明白了吗？

2 各谐波磁场相互作用产生的切向力波

前面说了，气隙磁密分别是由定、转子磁势分别作用于气隙磁导而形成的，那么各谐波磁场独立和相互作用就会产生径向和切向的力波。我们先说切向力波，切向力波其实就是转矩。各谐波磁场相互作用产生的转矩有以下几种情况：

2.1 同极对数、同转速、同转向的谐波磁场相互作用产生的转矩

同极对数、同转速、同转向的谐波磁场在气隙中保持相对静止，因此可以把它们分别合成为一个谐波磁场，它们相互作用产生的转矩是恒定转矩，这是电机得以进行机电能量转换的基础，此类恒定转矩主要是极对数为p的定转子主波磁场相互作用而产生的，当然定子谐波电流产生的同次谐波磁场与转子同次谐波磁场也是相对静止的，它们相互作用也会产生恒定转矩。由于这些转矩为恒定值，不存在转矩脉动，因此不会对电机的整体产生激振作用，只是对齿的局部存在周期性激振。

2.2 不同极对数的谐波磁场相互作用产生的转矩

不同极对数的谐波磁场无论转速如何、转向如何，其相互作用产生的转矩恒为0，即不同极对数的谐波磁场相互作用永远不会产生转矩，也永远不会对电机整体产生激振！但同样会存在对齿的局部产生周期性切向激振。

2.3 不同极对数的谐波磁场相互作用产生的转矩

极对数相同但转速或转向不同的谐波磁场存在着相对转差，因此它们相互作用会产生脉动的转矩。转矩脉动的频率为基波电频率的6的整数倍，转子转频的6p整数倍。转矩脉动的幅值与两个同极对数谐波磁场的幅值乘积成正比。关于各次谐波磁场相互作用产生的脉动转矩机理详见 NVH那些事（三），为了方便查阅，现将那篇文章中归纳的定子电流各次时间谐波引起的各次磁场空间谐波相互作用产生的转矩脉动频率表重新贴出，表中的数据为转矩脉动频率与基波电流频率之比。

3  各谐波磁场相互作用产生的径向力波

各谐波磁场相互作用除了产生切向力波外还会产生的径向力波，根据麦克斯韦张量理论，径向力波的应力p(牛/米²)为：

p=b²(θ,t)/(2μ₀)=[b₁(θ,t)+b₂(θ,t)+b₃(θ,t)+…]²/(2μ₀)=(1/2μ₀)•[b²₁(θ,t)+b²₂(θ,t)+b²₃(θ,t)+…2b₁(θ,t)•b₂(θ,t)+2b₂(θ,t)•b₃(θ,t)+2b₁(θ,t)•b₃(θ,t)+…]=(1/2μ₀)•[∑b²_υ(θ,t)+2∑b_υ(θ,t)•b_μ(θ,t)]                                         ⑶

由⑶式可知，径向力波有两大类：一类是由每一个谐波磁场单独产生的径向力波；另一类是由任意两个谐波磁场联合产生的径向力波。

3.1 每一个谐波磁场单独产生的径向力波

每一个谐波磁场单独产生的径向力波为：

p_υ=b²_υ(θ,t)/(2μ₀)=[B_υ•sin(υθ±2πf_υ•t)]²/(2μ₀)=B²_υ/(4μ₀)-B²_υ•cos(2υθ±2π2f_υ•t)/(4μ₀)  ⑷

上式中第一项为一恒定值，不随时间交变，只产生静变形，不会引起铁心振动；第二项随时间交变，会引起铁心振动，其特征如下：

①激振的频率为2f_υ，即谐波磁场经过定子的频率的两倍。②力波的空间阶次，力波的空间阶次也称力波的节点对数，即力波在气隙圆周上的全波数r，或称力型，υ对极谐波磁场单独产生的径向力波的阶次为2υ，即两倍谐波磁场的极对数。③力波的幅值为B²_υ/(4μ₀) 。3.2 两个同方向旋转、极对数不同的谐波磁场联合产生的径向力波

两个同方向旋转、极对数不同的谐波磁场联合产生的径向力波为：

p_υμ=(1/μ₀)•b_υ(θ,t)•b_μ(θ,t)=(1/μ₀)•B_υ•sin(υθ-2πf_υ•t)•B_μ•sin(μθ-2πf_μ•t)=(B_υ•B_μ/2μ₀)•{cos[(υ-μ)θ-2π(f_υ-f_μ)t]-cos[(υ+μ)θ-2π(f_υ+f_μ)t]}               ⑸

由⑸式可见，两个同方向旋转、不同极对数的谐波磁场可联合产生两个径向力波，其特征如下：

①第一个力波的力型阶次为r=υ-μ，频率为f=f_υ-f_μ。②第二个力波的力型阶次为r=υ+μ，频率为f=f_υ+f_μ。③两个力波的幅值均为Bυ•Bμ/(2μ0)。3.3 两个反方向旋转、极对数不同的谐波磁场联合产生的径向力波

两个反方向旋转、极对数不同的谐波磁场联合产生的径向力波为：

p_υμ=(1/μ₀)•b_υ(θ,t)•b_μ(θ,t)=(1/μ₀)•B_υ•sin(υθ-2πf_υ•t)•B_μ•sin(μθ+2πf_μ•t)=(B_υ•B_μ/2μ₀)•{cos[(υ-μ)θ-2π(f_υ+f_μ)t]-cos[(υ+μ)θ-2π(f_υ-f_μ)t]}    ⑹

由⑹式可见，两个反方向旋转极对数不同的谐波磁场也可联合产生两个径向力波，其特征如下：

①第一个力波的力型阶次为r=υ-μ，频率为f=f_υ+f_μ。②第二个力波的力型阶次为r=υ+μ，频率为f=f_υ-f_μ。③两个力波的幅值均为B_υ•B_μ/(2μ₀)。

上述三种情况产生的径向力波都是沿气隙圆周按正弦规律交变，形成梅花瓣型状，并随着时间的推移沿某个方向旋转，如图1所示。

图13.4 两个极对数相同但转速或旋转方向不同的谐波磁场联合产生径向力波

将上述⑸式和⑹式令υ=μ，即可分别得到两个极对数相同但转速或旋转方向不同的谐波磁场联合产生的径向力波为：

p=(B_υ•B_μ/2μ₀)•{cos[2π(f_υ±f_μ)t]-cos[2υθ-2π(f_υ±f_μ)t]}            ⑺

式中“±”号取“+”号时为两个谐波磁场旋转方向相反；取“-”号时为两个谐波磁场旋转方向相同。由⑺式可见：

①两个极对数相同但转速或旋转方向不同的谐波磁场可联合产生两个径向力波，其中一个(第一项)与空间位置无关，只随时间变化，其变化频率为f=f_υ±f_μ，该项力波的阶次为0，称为0节力波，其特征是使定子铁心时而扩张时而收缩，就像铁心在呼吸一样，因此也称其为“呼吸”振型的力波；另一个(第二项)力波的阶次为2倍谐波磁场的极对数，变化频率为f=f_υ±f_μ。其中“±”号的选取取决于两个谐波磁场的转向。②这里存在一个特例，如果两个谐波磁场极对数相同、转速相同(即fυ=fμ)但旋转方向相反，则这两个谐波磁场联合产生两个径向力波即为：p=(B_υ•B_μ/2μ₀)•(cos2π2f_υt-cos2υθ)                   （8）

此时呼吸力波的频率为2f_υ；而另一个力波不随时间变化，只产生梅花瓣状的静变形，不会产生振动。这种情况主要发生在定子电流不对称，存在负序电流时，正反相序的电流分别产生的磁场旋转方向相反，转速相同，它们相互作用就会产生这种2f_υ频率的呼吸力波。

③两个力波的幅值均为B_υ•B_μ/(2μ₀₎。

关于电机中各种谐波磁场形成的原因及产生的径向力波特征的详细推导见NVH那些事（四）～（六），有兴趣深入了解相关内容的可参见那些文章，重点是要了解产生的径向力波的三要素：阶次(力型)、频率和幅值大小，它们对电机的电磁振动将产生重大影响。

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