上期说到电机中的电磁转矩是定转子磁场相互作用的结果，并定性介绍了定转子可能产生的磁场及其相互作用产生不同转矩的规律。由于电机的电磁振动和噪声是由气隙中一系列定转子磁场谐波产生的径向力波和切向力波引起的，要分析电磁振动和噪声必须从定转子磁场入手。本期就定量地解析一下定转子主波磁场及各次谐波磁场的极对数、大小和转速、频率特征，为后续分析径向力波和切向力波打好基础。
先说明个事，在进行电机的电磁性能分析时，通常是将转子的极对数（主波极对数）作为基波来分析，将不同于主波极对数的磁场统称为谐波，所以谐波的次数都是相对于主波极对数的次数。但在分析振动噪声时，重点研究和分析的是振动噪声的实际频率特征以及与转子的机械转动频率之间的关系。另外由于某些分数槽绕组可能会产生低于主波极对数的所谓分数次谐波磁场，给分析带来许多不便，因此在后面的NVH系列瞎想文章中，如果没有特殊说明，所说的空间磁场都是以沿气隙圆周分布一对极为基波，其余都是相对于一对极的谐波，此时谐波的次数就是它的实际极对数。在这种规定下，就不会出现分数次谐波了，与主波极对数相同的磁场也是谐波磁场，其谐波次数为p，电机主要就是靠这个磁场来进行机电能量转换，因此我们称之为主波磁场。
1 定子绕组产生的磁势
定子绕组中通入电流时会产生定子磁势，关于定子绕组产生的磁势有以下几个结论，为了便于同学们学习，我先把这些结论列出来，你就先直接记住这些结论，然后再带着这些问题去消化理解后面的讲解。
结论Ⅰ：定子绕组产生的磁势，在气隙中分布的空间波形，或者说定子磁势的基波和各次谐波，只取决于绕组本身的固有结构参数，与绕组内所通电流的波形无关。这些固有的绕组结构参数包括：相数、节距、接法、相带分布、极槽配合等等。
结论Ⅱ：定子磁势波的运动(旋转)速度取决于定子电流的波形，或者说定子磁势的空间基波和谐波的旋转速度取决于定子电流的时间基波和谐波频率。
以上两条结论简单归纳一下就是：定子磁势的空间分布取决于绕组结构；定子磁势的时间分布（转速）取决于电流的时变频率。
2 三相定子绕组产生的磁势谐波极对数
学过电机学的同学们都知道，多相对称绕组通入多相对称交流电流时会产生一系列旋转的空间分布磁势。我们先以最简单的三相绕组为例，介绍一下定子磁势谐波的极对数特征，至于更多相的定子绕组磁势将在以后的瞎想中介绍。
2.1 三相整数槽绕组磁势的极对数
所谓整数槽绕组就是每极每相槽数为整数的绕组，即q=Z/2mp为整数的绕组，对于三相绕组相数m=3，则q=Z/6p为整数。这种绕组单元电机数t=p，这就意味着线圈导体沿气隙圆周的分布规律每隔一对极就重复循环一次，一共循环p次。因此这种绕组沿气隙圆周产生的磁势的极对数必然是p及p的整数倍，不存在p的分数次谐波。即气隙中定子磁势的最小极对数是p，其他极对数都是p的整数倍，如果以主波极对数p基波，那么只存在某些整数次谐波，不存在分数次谐波。在这些整数倍中有些整数次谐波存在，而有些整数次谐波仍然不存在。
①三及三的倍数次谐波
如果三相绕组在气隙中的分布是对称的，那么每相绕组产生的三及三的倍数次谐波磁势的大小相等，空间相位也相同，这样如果没有中线或中线电流为零时，三相电流瞬时值之和即为零，则三相合成磁势中这些次数的谐波磁势也就为零。即极对数υ为3kp（k=1,2,3……)的磁势谐波为0。也就是说三相对称绕组产生的磁势中不存在三及三的整数倍次谐波。
②奇次谐波
由于每相绕组产生的磁势相对于绕组轴线两边是对称的，即相对于绕组轴线，磁势的分布是偶函数，因此其傅立叶展开式中必然存在奇数次谐波。三相合成磁势中也就存在奇次谐波（三及三的整数倍次除外）。
③偶次谐波
三相对称绕组产生的磁势谐波还与绕组的相带有关。关于绕组的相带通常存在三种情况：
ⅰ）每相绕组的正相带与负相带宽度相等，我们称之为正规60º相带绕组，对于这种正规60º相带绕组，在一个循环周期（一对极）内产生的正(N极)、负(S极)磁势对称，因此不存在偶数次谐波，只存在奇数次谐波，如图1所示。
ⅱ）在上述正规60º相带基础上将正相带（或负相带）宽度增大，而负相带（或正相带）宽度减小，且保证正负相带的总宽度仍然为120º，这样就得到所谓的“大小相带绕组”，这种绕组由于正负相带不相等，使得正负相带所产生的正(N)、负(S)磁势也不对称，因此这种大小相带的三相绕组产生的磁势中除了存在奇次谐波还必然存在偶次谐波磁势，如图2所示。
ⅲ）在第ⅱ)种情况下，如果把负相带（或正相带）减小到0，正相带（或负相带）增大到120º，就变成了120º相带绕组，此时磁势的正(N极)半波和负(S极)半波更不对称，因此三相合成磁势中除了奇次谐波外，偶次谐波会更大。
小结一下：对于正规60º相带的三相整数槽绕组的磁势，不存在三及三的整数倍次谐波和偶次谐波，只存在非三及三的整数倍的奇次谐波；如果是大小相带绕组和120º相带绕组，则其产生的磁势不存在三及三的整数倍次谐波，其余的谐波次数都存在，包括奇次谐波和偶次谐波。
以上三种相带情况都属于正规接法的三相绕组，在三相交流电机中较为常见。除了以上三种正规接法的绕组，在特殊情况下，有时三相定子绕组还可设计成非正规接法绕组，这种绕组的磁势谐波更加丰富，不仅含有基波的整数次谐波，还含有分数次谐波，由于这种绕组极其少见，只是在变极多速异步电机中偶尔用到，我们这里所讲的永磁同步电机基本不会用到，因此不做赘述。以上分析可见，正规60º相带绕组产生的磁势所含的谐波次数最少，而且其基波绕组系数也最高，因此正规60º相带的三相绕组是最常见、也是综合性能最好的绕组设计方案。再重复一遍：正规60º相带的三相整数槽绕组的磁势中，不存在三及三的整数倍次谐波和偶次谐波，只存在非三及三的整数倍的奇次谐波！即只存在主波极对数p的1、5、7、11、13…次谐波，也就是说，对于整个气隙中磁势波的极对数只存在p、5p、7p、11p、13p…对极！
2.2 三相分数槽绕组磁势的极对数
所谓分数槽绕组就是指每极每相槽数为分数的绕组，即q=Z/2mp=N/D，其中N和D为不可约分的整数。由于实际电机在一个极下每相的槽数只能是整数不可能是分数，因此这里说的每极每相槽数为分数是指平均每极每相槽数为分数，实际电机中q=N/D就说明在D个极下每相有N个整数槽。由此可见，分数槽绕组只能每隔D或2D个极绕组导体的分布才能重复循环一次，至于到底是每隔D个极还是2D个极循环一次，取决于D是偶数还是奇数，我们分别阐述如下：
① D为偶数时，那么D/2必为整数，D个极中必然存在D/2个N极和D/2个S极，由于N是与D不可约的整数，D是偶数时N必然为奇数，因此不可能把N个槽一分为二平均分到N极和S极下，只能是N极和S极下的槽数不相等，也就是说在D个极中，正(N极)磁势和负(S极)磁势不对称，但相邻两个连续D个极中，后D个极的绕组分布总是重复前D个极下的绕组分布，即绕组的分布每隔D个极重复循环一次，这样每个单元电机就包括D个极(D/2对极）。在这种情况下，D个连续极的总跨距D•τ即为磁势基波波长，又由于在一个D•τ波长范围内正(N极)磁势和负(S极)磁势不对称，因此每相磁势相对于波长为D•τ的谐波磁势会包括所有奇次谐波和偶次谐波。即相对于D•τ波长，磁势谐波次数包括1、2、3、4、5、6、7、8…次谐波。相对于整个气隙的磁势谐波极对数υ为：(2p/D)•(1、2、3、4、5、6、7、8…)对极。如果相对于主波p对极的谐波次数υ′，则：υ′=(2/d)•(1、2、3、4、5、6、7、8…)。以上分析是每相绕组产生的磁势谐波，如前所述，三相绕组的合成磁势中不存在三及三的整数倍次谐波，因此三相绕组合成磁势的谐波极对数υ为：(2p/D)•(1、2、4、5、7、8、10、11、13…)对极；相对于主波p对极的谐波次数υ′为：(2/D)•(1、2、4、5、7、8、10、11、13…)，其中υ′=1时为主波。
小结一下，D为偶数的三相分数槽绕组的合成磁势谐波具有以下特征：
ⅰ）气隙磁势的极对数不包含三及三的整数倍对极，最小的磁势谐波极对数为2p/D，其余为该极对数的非三及三的整数倍对极，包括奇数和偶数；
ⅱ）相对于主波p，谐波次数不仅包含了除三及三的整数倍次的所有整数的奇次和偶次谐波，还包含了部分分数次谐波；
ⅲ）只有当D=2时，谐波次数没有分数次谐波，其余均有分数次谐波。
② D为奇数时，不能把D等分为两个整数，则D个极中包括的N极和S极的个数不可能相等，因此每个单元电机内必须有2D个极，即绕组的分布每隔2D个极重复循环一次，其中后面D个极的线负荷和磁势的分布应与前面D个极下对应点的线负荷和磁势的分布大小相等方向相反，因此用单元电机的跨距2D•τ作为基波波长时，每相磁势将只包含奇次谐波，不包含偶次谐波，同样，三相合成磁势中还不包含三及三的整数次谐波，这样相对于整个气隙，三相合成磁势谐波的极对数υ为(p/D)•(1、5、7、11、13…)对极；相对于主波p对极的谐波次数υ′为：(1/D)•(1、5、7、11、13…)次谐波，其中υ′=1时为主波p对极。可见相对于主波极对数p，三相合成磁势不仅存在整数次奇谐波，也存在部分分数次奇谐波。
需要指出的是，当D=1时，q即为整数，因此整数槽绕组是分数槽绕组的一个特例，本节所阐述的内容在D=1时即可推广至整数槽绕组。
3 三相合成磁势谐波的转向
如前所述，三相对称绕组通以三相对称交流电流时会产生一系列的旋转磁势。理论上可以推出一个重要结论：任意两个相邻极对数（次数）的磁势谐波转向必相反！这个结论虽简单但推导过程较复杂，这里略去推导过程，你就先记住这个简单的结论即可。有了这个结论，我们假设p对极主波磁势的转向为正转向，其它磁势波的转向与之相同时统称为正转向，与之相反的定义为负转向。那么根据上述结论，紧挨着主波p两边的两个极对数的谐波磁势必然为负转向，其它的谐波磁势转向依次为正、负、正、负…规律间隔排列即可。
说了这么多，接下来我们举两个例子来说明一下，这样可能会更加直观，更便于理解。
例1：一台2p为48极、Z为540槽的三相电机，则每极每相槽数q=540/(48•3)=15/4，D=4为偶数，Z与p的最大公约数为12，即整个电机可以分为t=12个单元电机，每个单元电机内有4个极(D=4)，45个槽。根据上述D为偶数的分数槽绕组产生的三相合成磁势的极对数应该包括：(2•24/4)(1、2、4、5、7、8…)=12、24、48、60、84、96…
其中24对极为主波磁势，我们将其转向定义为正，记为+24，则其它极对数的谐波磁势转向依次即为：-12、+24、-48、+60、-84、+96…。如果把主波24对极作为基波，则各谐波次数及转向即为：-1/2、+1(主波)、-2、+5/2、-7/2、+4…
例2：一台2p为20极、Z为24槽的三相电机，则每极每相槽数q=24/(20•3)=2/5，D=5为奇数，Z与p的最大公约数为2，即整个电机可以分为t=2个单元电机，每个单元电机内有10个极(2D=10)，12个槽。根据上述d为奇数的分数槽绕组产生的三相合成磁势的极对数应该包括：(10/5)•(1、5、7、11、13…)=2、10(主波）、14、22、26…
其中10对极为主波，我们将其转向定义为正，记为+10，则其它极对数的谐波磁势转向依次即为：-2、+10、-14、+22、-26…。如果把主波10对极作为基波，则各谐波次数及转向即为：-1/5、+1(主波)、-7/5、+11/5、-13/5…
以上两个例子，一个D为偶数，一个D为奇数，直观演示了两种分数槽绕组产生的磁势谐波极对数（谐波次数）及其转向。为了系统地归纳不同绕组产生的谐波特征，我们分两种情况将上述所讲的不同绕组产生的磁势谐波次数及转向统一用公式表达。对于每极每相槽数q=N/D(其中N与D为不可约的整数)的三相绕组，所产生的磁势谐波次数（以主波极对数p为基波）为：
Ⅰ.当D为偶数时，磁势谐波次数为：
υ′=±2(3k±1)/D (1)
Ⅱ.当D为奇数时，磁势谐波次数为：
υ′=±(6k±1)/D (2)
以上两式中：k=0,1,2,3…；两个±号应选择一致，“+”号代表与主波转向一致；“-”号代表与主波转向相反。由于整数槽绕组为第Ⅱ种情况当D=1时的特例，因此整数槽绕组可以按第Ⅱ种情况分析，需要特别说明的是，第Ⅱ种情况分析整数槽时只适用于正规60º相带的整数槽绕组，其他接法的绕组不适用。如果计算磁势波在气隙中的实际极对数υ，则将以上两式乘以主波极对数p即可，即：
υ=p•υ′ (3)
为了更加全面地归纳绕组磁势特征，我们把各种绕组磁势波的特征总结如表1和表2所示。
4 三相合成磁势的幅值
由电机学知识可知，各次旋转磁势波的幅值为：
Fυ=1.35Kwυ•w•I/υ (4)
式中：w为每相串联匝数；Kwυ为υ次谐波的绕组系数，它由三个系数相乘组成，即短距系数、分布系数和槽口系数，关于短距系数可查电机学计算、分布系数计算公式见表1和表2、槽口系数对低次谐波可近似看做1，高次谐波可查有关文献不再赘述；I为相电流；υ为磁势谐波的极对数。
5 三相磁势的转速
如前所述，三相对称绕组通入三相对称交流电流时产生一系列旋转的谐波磁势。对于每一个谐波，当电流交变一个周期，各次谐波均会转过相应谐波的一个波长，转过的角度为相应谐波的2π电弧度，若电流频率为f，则各次谐波的转速即为：
n=±60f/υ=±n1/υ′ (r/min) (5)
即对于主波同步转速n1来讲，υ′次谐波的转速为主波同步转速的1/υ′。±号表示转向与主波转向相同或相反。
6 永磁转子的磁势
永磁转子同样存在一系列谐波磁势。对于相对磁极中心线结构对称的永磁转子，其磁势谐波中只存在相对于主波极对数的奇整数倍谐波磁势，即转子磁势相对于主波的次数为1、3、5、7、9…而且它们都随转子以主波同步转速旋转，即磁势各次谐波转速和转向均相同，为+n1。
本期瞎想主要分析了定转子磁势谐波的极对数、转速、转向、大小特征，这是分析电磁振动和噪声的基础，有了这个基础，下期我们就可以分析不同极对数磁场相互作用产生的径向力波和切向力波特征，从而得到电磁振动的激励特征。
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